科学阶梯 | 数学为何能解释自然

一部部科学经典著作，犹如人类文明史上璀璨的里程碑，奠定了现代科学基石，铺就了人类进步的阶梯。宇宙的运行由深奥的自然法则和基本的物理常数统治着，彼得·阿特金斯在《变个宇宙出来：自然法则的起源》中探讨了数学揭示现实的深层结构的可能。

很多自然规律都可以用数学形式表达，包括那些内容原本和数学没什么关系的定律，在用数学重新诠释后，都会获得更大的威力。最早考虑这个问题的科学家之一是匈牙利数学家尤金·维格纳，他在1959年的一场题为“数学在自然科学中不可理喻的有效性”的讲座中提出了这个问题。他以一种谨小慎微的态度给出了如下结论：数学不可理喻的有效性是一个谜，这个谜过于深奥，不可能通过人类的反思获得解决。

相对于维格纳谨慎的悲观主义，另一种更加积极的看法认为，数学的有效性并非不可理喻，它不是在制造困惑，而是为探索宇宙的深层结构提供了一扇重要的窗户。数学可能是宇宙在努力使用我们共同的语言对我们说话。

从最实用主义的层面说，我们可以用概括物理定律的方程预言出物理过程的数值结果，像天文学家预言行星轨道、日食发生率，以及超级月亮出现的时间。然后，从表述为数学形式的定律中还会突现出意想不到的推论，并被观测验证。这些例子中最著名的莫过于有人听完爱因斯坦广义相对论的内容，就预言了黑洞。

生物学也许是数学博览会中一个不那么显眼的区域。直到1953年以前，这一人类知识分支在很大程度上还不过就是在大自然中走走看看而已，而就在1953年，沃森和克里克确定了DNA的结构，几乎一下把生物学变成了化学的一部分，也因此使它成为了物理科学的一员，并赋予了它这一身份所蕴含的全部威力。话虽如此，除了包括编码定律在内的各种遗传定律以外，很难指出有什么具体的数学生物学定律。

不过，要说明数学在生物学中的直接作用，倒是有好几个不同方面的候选案例。包括对有机会捕到猎物的捕食者数量的分析，以及在某种意义上与之相类似的设计捕鱼策略和采收策略的工作。还有各种各样的周期性现象，这也是生物体典型具有的，如人类的呼吸、心跳以及更慢一些的24小时生理周期，都会证实这一点，此类周期性振荡都可以用数学描述。同样地，各种数值差波动，比如一场流行病中感染者与未感染者人数差的波动，各种电位差波动——就像我们思考和行动时信号沿神经传递过程中出现的那种，还有鱼在横向袭来的波浪中为推动自己在水中前进而自动（甚至在头被砍掉以后）弯曲身体时产生的肌肉活动的波动，也是一种广泛存在于生物学各个方面，可以用数学来处理的研究对象。

艾伦·图灵也许是第一个展示了如何用数学方法处理化学物质在各种形状的容器中扩散的扩散波，这一工作解释了动物毛皮上的图样是如何形成的，包括豹子的斑点、斑马的斑纹、长颈鹿的斑块，以及蝴蝶翅膀上错综复杂的美丽纹理。

上面列举了这么多数学的不同应用，但就其本身而言，它们并不是定律。除了统计学追求的对数据的数值分析以外，以上每个案例的数学部分都包含有对某种模型的分析。这并不是自然界基本定律的内容，而是由一些隐藏在背后的基本物理定律以非常复杂的方式组合而成的表达式。它们甚至都算不上外在定律，而只是利用一大堆组织起来的外在定律去执行一项具体的工作。

从最简单和最明显的层面来看，数学之所以管用，是因为它提供了一种高度理性化的方法，把一个方程的推论一一呈现出来，而这个方程实际上代表了一则用符号形式表达的定律。实际上，想从一个非数学陈述，如“适者生存”中，做出可信赖的预言，是不可能的。相比之下，我们却可以从一个数学陈述中得到可信赖的预言，例如从胡克定律，回复力正比于位移（方程F=-kfx的文字表述）中：我们可以根据摆长准确预言出单摆的周期。

关于表现出混沌运动的系统，一个比较简单的例子是“双摆”，即在一个单摆的底部挂上另一个单摆，两个摆都按照胡克定律摆动。在这个例子中，这两个摆的运动方程都可以被解出来，并且只要确切知道两个摆被回拉时的初始角度，那么它们在未来任何时间的角度也就都能得到确切预言了。这里关键的一句话是“只要确切知道两个摆被回拉时的初始角度”，因为即使起始角度只存在一丁点儿无穷小的不精确，在后续运行中也会造成非常不一样的结果。

混沌系统并不是一个在运行上无规则的系统，它是一个对起始条件高度敏感的系统，由此使得对一切实践上的目的而言，它的后续运行状况是不可预测的。如果我们对初始位置有完全的了解，我们就能够得到完全可预测的运行方式。

这种固有的预言与观测无法在实践上匹配的特性，所造成的后果之一就是使科学中所谓实验可验证性的意义发生了转变。长期以来，人们一直认为，将预言与观测进行比较，并以失败为启发修正理论，这一程序是科学方法的柱石之一。但是现在我们看到，可靠的预言并不总是可能的，那么这块柱石是否已被侵蚀了呢？一点儿都没有。用模型模拟混沌现象的“全局”预测可以通过在不同起始条件下对系统进行测试而得到验证，而且“混沌”本身就具有某些可预测的特性，这些特性也都可以进行验证。自然律，就这个案例而言是一系列外部定律，即便在这个不可定量预测的系统中也将得到验证。

数学的理性特质可能就是它不可理喻的有效性的全部秘密。它的有效性也许就在于它的推理过程，以及它作为理性典范的地位。数学之所以管用，其理由可能就是简单，因为它强调程序的系统性：以模型的提出为起点，设置几个关于它属性的方程，然后用久经考验的数学演绎工具使推论一一呈现。这可能就是全部。但有没有可能还有更多呢？

有某些其他的迹象暗示世界可能在更深层次的意义上是数学的。德国数学家利奥波德·克罗内克说过：“上帝创造了整数，所有其余的数则是人创造的。”因此数学全部的美妙成就，就是施加在整数上的一些操作，这些操作把数字变成了人们最初并没有打算让它们成为的样子。但整数又是从哪儿冒出来的呢？

整数可能是从绝对的一无所有中冒出来的。生成它们的程序属于数学中被称为“集合论”的领域，也就是那门处理事物的集合，但却不太注意处理的事物是什么的理论。

如果你没有任何东西，那么你就拥有了叫作“空集”的东西，标记为{Ø}。我将把它规定为0。假设你有了一个包含空集的集合，记为{{Ø}}。现在你手里就有点儿什么了，我把这点儿什么称为1。接着你还可以拥有一个不仅包括空集，还包括包括空集的集合的集合。把这个集合记作{{Ø}，{{Ø}}}，因为它有两个成员，所以我称它为2。现在你可能看得出来，3就是{{Ø}、{{Ø}}、{{Ø}、{{Ø}}}}，包含了空集、包含空集的集合，以及既包含空集又包含包含空集的集合的集合。我就不拿4来烦你了，更不用说那些更复杂的数，这个程序到现在为止应该已经很清楚了。它所实现的就是从绝对的一无所有中生出整数。一旦你有了整数，然后再逼着它们跳各种圈儿，就像克罗内克说的，你最后就会得到数学。

现在，这一过程很明显可以与宇宙从绝对的一无所有中突现出来的过程相类比，其中“无”在某种程度上就对应着空集{Ø}。

伴随着这个类比会产生几个问题。包括我们缺乏相应的规则，来解释整数是如何被连接到那些“数学的”结构上的。还有，仅仅列出一张整数的清单，很难说值得使用“宇宙”这个名字来命名。此处的答案，可能就隐藏在那些被提出来作为算术学基础的公理中。其中就包括意大利数学家朱塞佩·皮亚诺提出的几条著名公理。有一条被归功于德国人利奥波德·勒文海姆和挪威人索尔夫·斯科伦的著名定理暗示，任何公理系统都与算术系统等价。

因此，比如你有一个建立在一组断言之上的包含全部自然律的理论，那么它在逻辑上等价于算术，并且任何关于算术的陈述对它也适用。因此一个过于大胆的推测可能是，一些与皮亚诺公理中提出的逻辑关系相类似的逻辑关系，偶然与那个从一无所有中突现出来的我们称之为宇宙的实体发生了关系，并给予了后者稳定性。很显然，如果有朝一日能够出现这样的诠释的话，还必须等理解和阐释宇宙根源的工作取得深入进展以后才行。就目前而言，这些想法不过是异想天开。

当然，有一个大问题是，我们说宇宙是数学的，这是什么意思？如果一切仅仅是算术，那么我正触摸着的东西是什么？如果那仅仅是代数，那么我透过窗户看到的又是什么？我的意识仅仅是由一堆在公理音乐的伴奏下翩翩起舞的整数协作而成的吗？因果性难道类似于，或者实际就是写出定理证明的过程吗？

随便触碰个什么东西，我们是在某种意义上触碰圆周率π本身吗？如果我们把触摸这个动作的神经生理学方面，也就是当我们与外部物体发生联系时在身体内部发生的过程先放在一边，那么触碰归根结底就是被触碰者相对于触碰者的不可入性。不可入性是一块空间区域产生的某种排斥作用，这下我们就能理解将“触碰”的感觉传递到大脑或传入神经反射回路的信号是从哪儿起源的了，正是这个信号让我们把手缩回来，以避免可能的危险或触碰的下一步结果——受伤。

一个物体对另一个物体的排斥作用是从一条非常重要的原理中生长出来的，这条原理由奥地利出生的理论物理学家沃尔夫冈·泡利于1925年提出，并于1940年推广为普遍原则，从而为他赢得了1945年的诺贝尔物理学奖。这是一条量子力学的固有原理，它涉及电子的数学描述，断言了当人们把两个电子的名称相互交换时，这种描述必须如何发生改变。这条原理的推论是，两个原子的电子云不能相混：一个原子会被排斥在另一个原子占据的区域之外。这样，触摸就从一条自然界的基本原理中突现出来了。虽然我承认，这种解释触碰的视角仍然没有完全触及“触碰在数学上意味着什么”这个问题的核心，但这是向那个目标迈出的一步。

还有最后一件重要的事，可能事关生死。哥德尔定理站在哪一边？哥德尔定理是生于奥地利的同名数学家库尔特·哥德尔1931年在一篇杰作中证明的。从本质上说，这条定理断言了一组公理的自洽性不能在这组公理内得到证明。如果自然律是数学的，那么这难道意味着它们可能不自洽吗？对它们的解释注定是要系统性失败的吗？如果宇宙是一个巨大的数学模型，会不会它同样不是自洽的？它有没有可能在自身不一致性的重压下崩溃？

有几条逃生通道可以让我们逃离这一境遇。哥德尔的证明建立在一个特定的算术形式体系上，假使你扔掉这些陈述中的某一条，比如关于乘法是什么意思的那条，那么这就从下面敲掉了哥德尔证明的一条腿，它就不成立了。

反正最重要的是，尽管有哥德尔定理在，但哥德尔建立他证明的条件是否可以适用于物理世界还远远没有被搞清楚，因此悲观主义是没有依据的，自然律可能自洽得很好，这是有办法验证的。宇宙中并没有隐藏着什么可以在一瞬间把一切都完全抹杀，回归于绝对的“无”的逻辑断层线。而且，很有可能，只有全局一致的自然律才是可行的，宇宙很可能是一个逻辑上非常紧密的结构，不允许任何的不一致或不连贯以及与之相匹配的算术类型。

还有一些与此有关的议题。有些人怀有一种悲观的看法，认为如果未来我们真的发现了一种关于每件事的理论，一种宇宙性的、包罗万象的母理论，那么其后果也不会太美妙，因为这将暗示着人类到了应该挂起计算尺，怀着对每件事的内在定律和外在定律的完全理解，躺在前人已经做过的工作上睡大觉的时候了。

尽管如此，也许总还是会留下点儿什么可以让我们做的。例如，我们可能会发现，每件事都存在两种或两种以上同样成功的描述，我们无法在它们之间做出选择。这二者中不存在一种“更好”的描述。也许还有无数看似不可调和，然而同样有效的对世界的描述等着我们去发现，无数组相互自洽却又看上去风马牛不相及的自然律的组合。

当我们发现了所有自然律的时候，我们会知道我们已经把它们都发现了吗？对于一套特定的自然理论，即便对它进行实验验证，无论从技术上还是从原则上，都超过了我们的能力，我们还能够知道它是有效的吗？

对于所有假定会被发现的定律，我们是应该谨慎地放开对严格的实验验证标准的坚持呢，还是应该时刻保持警惕，去等待出现违背定律的现象，即便我们确信这样的现象根本不会发生？我们是否应该接受这样一种观点：我们对我们的理论有信心到即便无法测试它们，也还是应该把它们当作真理来接受吗？我们对自然律的渐进式探索，会不会正是使我们迈向过度自信的致命一步呢？

无论未来会怎样，知道这样一个事实总是好的，即就我们所能看到的来说，宇宙是个讲理的地方，甚至它所遵从的定律的起源，也在人类理解力范围之内。

科学经典推荐

《变个宇宙出来：自然法则的起源》

[英]彼得·阿特金斯著

我们的宇宙从何而来？彼得•阿特金斯运用轻松、诙谐的写作方式，如变魔术般带领读者探索能量守恒、电磁学、经典力学、量子力学和热力学的起源，展示其中所隐藏的各种定律是如何从深层对称中产生的，将物理学的基本思想简洁又丰富地编织在一起，获得了革命性的成果。

撰文：彼得•阿特金斯

翻译：苏湛